Добавить нуль или отбросить?

Легко и прочно усвоив во 2-м классе правило приписывания нуля, дети зачастую механически приписывают его и при умножении на 10, 100, 1000... десятичных дробей. Большие затруднения вызывают случаи деления вида 123:1000. Здесь нет ни запятой, которую нужно перенести, ни нулей, которые нужно отбросить. Таким образом, не срабатывает ни один из известных алгоритмов, что во многих случаях ставит детей в тупик. Всего этого можно избежать, если уже во 2-м классе при обучении умножению и делению на 10, 100, 1000 и т.д. формировать в сознании детей общий способ действия, пригодный как для натуральных чисел, так и для десятичных дробей. Это возможно, так как в действительности и в том и в другом случаях с числом происходит одно и то же: при умножении каждая цифра числа сдвигается на соответствующее число разрядов влево, а при делении – вправо.

Тема “Умножение и деление на 10, 100, 1000 и т.д.” во всех действующих учебниках рассматривается после того, как пройдена таблица умножения и должен быть уяснен смысл умножения как арифметической операции. Мы исходим также из того, что перед изучением этой темы целесообразно познакомить детей с алгоритмами письменного сложения.

Удобно начинать рассматривать эту тему с умножения на 10 однозначного числа. Рассмотрим, например, произведение 4 * 10 – это нетабличный случай умножения, поэтому посчитать результат на момент изучения темы дети могут, воспользовавшись определением умножения, то есть заменив умножение сло-
жением. Воспользовавшись переместительным законом, можно перейти от сложения десяти четверок к сложению четырех десяток, что гораздо удобнее. Итак, 4 * 10 = 10 * 4 = 10 + 10 + 10 + 10 = 40. Очевидно, что какое бы однозначное число мы ни умножали на 10, при сложении десяток получается число с нулем на конце. Из сказанного можно сделать вывод, что есть смысл при изучении таблицы умножения каждый столбик заканчивать равенствами 2 * 10, 3 * 10, ... , 9 * 10. Тогда при изучении рассматриваемой темы не будет необходимости в отдельном объяснении умножения на 10 однозначного числа.

Теперь поместим первый множитель (4) и результат умножения (40) в разрядную сетку.

д	е
4	4 0

Мы видим, что цифра 4 перешла при умножении на 10 в соседний, больший разряд, то есть сдвинулась на один разряд влево. Разряд единиц оказался пустым. Пустота разряда обозначает цифру нуль. Поэтому этот разряд заполняем нулем.

Теперь рассмотрим умножение на 10 многозначного числа. Например, 362 * 10. Получить результат можно, сложив 362 десять раз. Запишем это в столбик:

  362
+362
+362
+362
+362
+362
+362
+362
+362
+362
------------
3620

Согласно алгоритму письменного сложения сначала мы складываем число единиц, то есть складываем двойки 10 раз. Но подобное сложение можно заменить умножением: 2 * 10. Дети уже знают, что при этом 2 перейдет в разряд десятков, а в разряде единиц окажется нуль. Теперь складываем цифры, стоящие в разряде десятков. Это 10 шестерок, то есть мы должны сложить 10 раз по 6 десятков. Для объяснения этого момента воспользоваться следующей моделью: десятки – это связанные в пучок 10 палочек, сотни – связанные в пучок 10 маленьких пучков – десятков и т.д. Складывая 6 десятков 10 раз, мы тем самым увеличиваем их в 10 раз и получаем 60 десятков, каждые 10 из которых можно связать в пучок сотен. Таким образом, у нас получается 6 пучков-сотен. Цифра 6 переходит в разряд сотен, а в разряде десятков оказывается двойка, перенесенная из разряда единиц. Аналогично объясняется, что цифра 3 переходит в разряд тысяч, а в разряде сотен оказывается шестерка, перенесенная из разряда десятков. Поместив это в разрядную сетку, мы видим, что, как и в случае умножения на 10 однозначного числа, получилось число с нулем на конце, каждая цифра которого перешла в соседний больший разряд:

т	с	д	е
3	3 6	6 2	2 0

Образец записи для выполнения примеров на доске может выглядеть следующим образом: 302 * 10

  302 * 10 = 3020

Стрелка показывает, что мы как бы подтягиваем первую цифру в соседний, больший разряд, а остальные цифры сдвигаются вслед за ней. По этому образцу выполняются 1–2 примера. При этом учителю нужно контролировать осознанное выполнение каждого шага действия. Работа может быть организована, например, так: 420 * 10.

1. Помести в разрядную сетку первый множитель.
    Правильность выполнения этого шага контролируется. Учитель просит ученика, желательно слабого, показать, как он       выполнил задание. После чего класс выражает свое согласие или несогласие голосованием с помощью карточек. После       того как учитель убедится, что первый шаг всеми выполнен верно, дается следующее задание.
2. Покажи стрелкой, в какой разряд перейдет цифра из старшего разряда.
    Проверка этого и последующих шагов организуется аналогично тому, как это сделано для первого шага.
3. Запиши, какая цифра окажется после умножения в разряде десятков.
4. Запиши, какая цифра после умножения окажется в разряде единиц.
5. Запиши полностью результат умножения.

Внимание детей обращается на то, что при умножении на 10 каждая цифра числа перешла в больший разряд. Этот перенос осуществляется благодаря тому, что к числу мы приписали нуль. Результатом этой работы должно стать понимание того, что перенести каждую цифру числа в соседний больший разряд – это все равно что приписать к нему нуль. То есть чтобы умножить число на 10, мы должны приписать к нему на конце один нуль. После того как способ работы с новым действием в основном понят, можно переходить к обычной записи без разрядной сетки. При этом 1–2 примера целесообразно решить с подробным комментированием. Чтобы каждый ребенок имел возможность проговорить вслух свои действия, можно организовать работу в парах. Образец комментирования может быть такой: “1430 * 10. При умножении на 10 старшая цифра числа переходит в соседний, больший разряд, а остальные сдвигаются вслед за ней. Значит, 1 перейдет из разряда тысяч в разряд десятков тысяч, 4 – в разряд тысяч, 3 – в разряд сотен, 0 – в разряд десятков. В “пустой” разряд единиц мы запишем нуль. Получим 1430 * 10 = 14 300”.

Следующие примеры решаются полностью “в уме”, контролируется только конечный результат. Но в случае ошибок или затруднений дети возвращаются к развернутому действию.

После того как умножение на 10 усвоено, можно переходить к умножению на 100, 1000 и т.д. Очевидно, чтобы умножить число на 100, нужно умножить его на 10, а потом еще раз на 10. Например, 12 * 100 = (12 * 10) * 10 – применили сочетательный закон умножения. При первом умножении каждая цифра числа перейдет в соседний больший разряд, то есть сдвинется на один разряд влево, а при втором умножении – еще на один разряд влево. То есть каждая цифра числа перейдет в больший разряд, сместившись на 2 разряда влево. В последних двух разрядах окажутся нули.

      12 * 100

         12 * 10
         120 * 10

То есть здесь смещение в нужный разряд осуществляется приписыванием к числу двух нулей. Аналогично с умножением на 1000 и т.д. Таким образом, правило умножения на 10, 100, 1000 и т.д. можно сформировать следующим образом: “При умножении на 10, 100, 1000 и т.д. каждая цифра числа переходит в больший разряд, сдвигаясь влево. Чтобы все цифры оказались в нужном разряде, нужно приписать к числу столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и т.д.”.

Если умножение на 10 усвоено хорошо, то при обучении умножению на 100, 1000 и т.д. примеры на разрядной сетке можно не решать, а сразу выполнять обычную запись. 1–2 примера имеет смысл выполнить с подробным комментированием. После того как способ умножения на 10, 100, 1000 и т.д. понят и в основном усвоен, при решении примеров проверяется только результат. Однако при возникновении ошибок или затруднений целесообразно возвращаться к правилу, требуя, чтобы ученик подробно рассказал, а в случае необходимости и показал на разрядной сетке, как он выполняет умножение. Образец ответа ученика, который должен дать учитель, может звучать так: “35 * 10. Правило говорит, что любая цифра числа при умножении на 10 переходит в соседний больший разряд. Значит, 3 перейдет в разряд сотен, 5 – в разряд десятков. Последний разряд оказался свободным, заполняем его нулем, то есть приписываем к 35 один нуль. 35 * 10 = 350”. Однако даже если ошибок и трудностей не возникает, учителю целесообразно время от времени возвращаться к такому разворачиванию правила с тем, чтобы работа с разрядами оставалась в сознании учеников.

Обучение делению целесообразно строить, исходя из определения деления как действия, обратного умножению. а : в – это значит подобрать такое число с, что в * с = а. На этом определении основывается и деление на 10, 100, 1000 и т.д. Например, 420 : 10 – нужно подобрать такое число, которое при умножении на 10 дает 420, то есть у которого цифра 4 при умножении на 10 окажется в разряде сотен, а цифра 2 – в разряде десятков. А так как при умножении на 10 каждая цифра числа переходит в соседний, больший разряд, сдвигаясь на один разряд влево, то очевидно, что 4, чтобы перейти в разряд сотен, должна находиться в разряде десятков, а 2 – в разряде единиц. Рассмотрим это на разрядной сетке:

420 : 10 = 42.

Мы видим, что каждая цифра числа при делении на 10 перешла в соседний меньший разряд, то есть сдвинулась на один разряд вправо. При этом мы отбросили один нуль. Аналогично для деления на 100, 1000 и т.д. Решение первых 1–2 примеров можно организовать на разрядной сетке аналогично тому, как это делалось при изучении умножения. При этом полезно обращать внимание детей на то, что если перенос цифр числа в большие разряды достигался приписыванием нулей, то перенос в меньшие разряды достигается отбрасыванием нулей. Поэтому разделить на 10, 100, 1000 и т.д. мы можем только числа, которые оканчиваются достаточным числом нулей. Во 2-м классе мы не можем, например, разделить 12 на 10, так как двойка должна перейти в меньший разряд, а разрядов меньших, чем разряд единиц, дети еще не знают.

После работы с разрядной сеткой можно переходить к обычной записи. Правило может быть сформулировано так: “При делении числа на 10, 100, 1000 и т.д. каждая цифра числа переходит в меньший разряд, сдвигаясь вправо. Чтобы при этом все цифры оказались в нужных разрядах, необходимо от числа отбросить столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и т.д.”. Работа с материалом организуется аналогично тому, как это было сделано при усвоении умножения.

А теперь посмотрим, как такой подход поможет в 5-м классе усвоению умножения и деления на 10, 100, 1000 и т.д. десятичных дробей. Рассмотрим пример: 1,23 * 1000. Как известно, здесь получается 1230. Поместим это в разрядную сетку.

Каждая цифра числа сдвинулась на 3 разряда влево, то есть произошло то же самое, что и при аналогичном умножении натурального числа. Аналогично деление:

            123 : 1000 = 0,123

Каждая цифра сдвинулась на 3 разряда вправо. То есть, научив умножению и делению на 10, 100, 1000 и т.д. натуральных чисел, обучение этому алгоритму для десятичных дробей можно строить на уже имеющихся знаниях. При этом необходимо подчеркивать как сходство, так и различие этих алгоритмов. Сходство состоит в том, что и у натуральных чисел, и у десятичных дробей при умножении (делении) на 10, 100, 1000 и т.д. каждая цифра числа переходит в больший (меньший) разряд, сдвигаясь влево (вправо). Различие же в том, что если для натуральных чисел попадание в нужный разряд при умножении (делении) на 10, 100, 1000 и т.д. обеспечивалось приписыванием (отбрасыванием) нулей, то у десятичных дробей это происходит благодаря переносу запятой.