Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Начальная школа»Содержание №6/2004

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ МАРАФОН

Ольга ИНШАКОВА,
учитель школы № 57,
г. Москва

Продолжение. См. № 21, 22, 24, 29, 32, 34, 38, 39, 41, 46/2003; 2, 3/2004

Леворукие дети и математика

Изучение алгоритма письменного умножения

Алгоритм письменного умножения сложнее алгоритмов письменного сложения или вычитания, поскольку в нем помимо операций умножения содержатся и операции сложения, чередующиеся между собой в определенной последовательности. Поэтому при обучении письменному умножению трудность примеров должна нарастать постепенно при тщательном оттачивании умения на каждой ступени.

При работе с левшами строгое следование методике обучения письменному умножению необходимо, так как для них данный алгоритм сложен обилием последовательно сменяющих друг друга операций и существованием частных случаев умножения, производимых иначе. Кроме того, многие дети данной категории испытывают те или иные трудности с уже освоенными навыками устного или письменного сложения, либо не могут твердо запомнить таблицу умножения.

Поэтому основы понимания механизма письменного умножения закладываются на примерах умножения двузначного числа на однозначное без перехода через разряд.

Когда ребенок уверенно выполняет последовательное умножение однозначного множителя на каждую цифру многозначного (при освоении алгоритма чаще двузначного или трехзначного), не заменяя умножение привычным сложением, а алгоритм отработан как в громко-речевой форме, так и в свернутом варианте, то можно переходить к умножению сначала с одним переходом через разряд, а затем и с несколькими. Причем очень долго задерживаться на первом этапе нельзя, иначе ребенок привыкнет к облегченному варианту выполнения письменного умножения.

Однако нельзя заниматься в этот период только решением примеров все возрастающей трудности. Большинство детей, а особенно "неправши", устают от выполнения однообразных заданий, их внимание рассеивается, а количество ошибок резко возрастает. Поэтому следует вводить задания на поиск ошибок в вычислениях, заполнение "окошек" пропущенными цифрами, соединение выражений с их значениями без выполнения вычислений, когда те и другие расположены отдельно двумя группами. Подобные задания выглядят внешне, а потому подчас и воспринимаются несколько развлекательно, поскольку требуют лишь записи одной цифры, проведения соединительной линии или просто обведения в кружок неверного ответа, хотя по сути представляют большую сложность, чем собственно выполнение операции умножения, так как требуют более активной работы мышления вместо стереотипного воспроизведения алгоритма письменного умножения. А ведь именно они и продвигают ребенка на следующую ступень развития, поскольку требуют направленного применения различных мыслительных операций, как то: анализ условия, сравнение имеющихся данных между собой, классификация их и отбрасывание ненужного, обобщение и синтез результата с последующим более быстрым продвижением с помощью выполнения остальных частей задания по аналогии. Включение логических приемов мышления в процесс усвоения алгоритма письменного умножения превращает обучение из репродуктивного в развивающее, что очень нужно любому ученику, но особенно левше, так как позволяет посредством подробного разбора, а постепенно и самостоятельного решения подобных упражнений, продвигаться по пути преодоления собственных трудностей в обучении, причем не только в математике.

На следующем шаге возникает необходимость во вспомогательном приеме – записи количества перешедших через разряд десятков. Следует оценить, действительно ли это так необходимо для успешного продвижения ребенка, ведь при освоении алгоритма письменного сложения его обучали умению запоминать число перешедших через разряд десятков. А поскольку навык использования алгоритмов письменного сложения и вычитания постоянно поддерживается, иначе дети его забудут, то и умение запоминать число десятков совершенствуется. Поэтому при отработке алгоритма письменного умножения на однозначное число с переходом через разряд сначала надо ограничиться опорой на громкую речь (комментированием) – своим собственным напоминанием, что "6 в уме". Если же ребенок путается и действительно нуждается в письменной подсказке, то можно завести черновичок, на котором ученик записывает необходимое число. Выписанное отдельно, оно не помешает при переходе к умножению на двузначное число, когда появляется вероятность возникновения двухэтажной вспомогательной записи над первым множителем. На практике это выглядит следующим образом:

6 х 7 = 42, 2 пишем, 4 в уме (то есть на отдельном листочке пишем цифру 4).
7 х 5 = 35, 35 + 4 = 39 ( на листочке 4 зачеркиваем), 9 пишем, 3 в уме (на листочке пишем 3).
7 х 3 = 21, 21 + 3 = 24 ( на листочке 3 зачеркиваем), 4 пишем, 2 в уме ( на листочке пишем 2).
Умножение закончили, 2 пишу впереди. (2 зачеркиваем).

Такой способ никак нельзя признать прогрессивным, но он оказывает ребенку помощь при безвыходном положении. Кто-то, наоборот, без труда удерживает в уме необходимые числа, но не в состоянии быстро и без ошибки вспомнить табличный случай умножения. Отрабатывая во время устного счета таблицу умножения, позволяем пользоваться все сокращающейся шпаргалкой, чтобы работа по усвоению алгоритма не прекращалась. Учителю необходимо постоянно следить за тем, чтобы ребенок работал с неослабевающей нагрузкой, поскольку "поблажки" призваны не приукрасить его жизнь, а обеспечить по возможности успешное, без ненужных стрессовых ситуаций, поступательное продвижение вперед.

При следующем усложнении в первый множитель вводится 0 сначала в конце, а затем между значащими цифрами. Поскольку умножение на ноль уже отрабатывалось устно, то ошибки достаточно редки и обычно выражаются в пропуске нулей в произведении, если в первом множителе стоит подряд несколько нулей. Часто ситуация складывается таким образом (1), что ребенок запоминает число десятков при переходе через разряда, при умножении на нуль получает нуль, прибавляет нужное число, а дальше запоминать нечего, что и сбивает ученика с толку. И он не записывает 0, а сразу переходит к следующему числу. Поэтому при появлении в множителе нулей надо напомнить, что пропуск нуля приводит к потере одного разряда и уменьшению числа. Ошибок на пропуск 0 в произведении бывает немного.

Больший интерес представляет случай, когда второй множитель, а позже и первый, оканчивается одним или несколькими нулями. Очень важно на этом этапе отработать запись множителей таким образом, чтобы значащие цифры находились друг под другом, а нули были вынесены ("свешивались"), чтобы впоследствии быть записанными в том же количестве в конце произведения. Это принципиально новое для ученика требование, ведь до сих пор его учили разряды точно подписывать друг под другом, причем в остальных случаях это по-прежнему необходимо.

Доведение до сознания левшей смысла приема необходимо, поскольку с нулями у этой категории детей возникает немало проблем: то недописывание нулей при списывании, то недописывание их в произведении, то, встретив нули в первом множителе и напрочь забыв о приеме, они начинают на них множить (2) и сбиваются при записи неполных произведений, чтобы при их сложении получить неверную сумму.

При появлении нулей одновременно на концах обоих множителей ребенок забывает приписать нули "из второго множителя", ограничиваясь подсчетом их в конце первого или наоборот (3).

Возможно и иное происхождение уменьшенного количества нулей. Поставив перед собой задачу посчитать нули, ученик не подсчитывает общее количество цифр, обозначающих число "0", на концах обоих множителей, а выполняет письменное сложение самих нулей, оказавшихся друг под другом. Естественно, что в результате такой операции их количество становится равным наибольшему числу нулей в одном из множителей.

В приведенном ниже алгоритме присутствует важное уточняющее сочетание слов "на концах множителей", так как иногда чересчур исполнительный ребенок подсчитывает все нули в записи чисел (4).

В алгоритме выполнения частного случая умножения круглых чисел акцентируем внимание на каждой операции (в скобках приводятся аргументы для учителя):

– выполняю умножение круглого числа (ученик дает себе установку, позволяющую надеяться, что ребенок вспомнит о частном случае и специальном приеме);
– пишу числа друг под другом так, чтобы нули были вынесены;
– под чертой в ответе точно под нулями множителя вправо пишу столько же нулей, сколько их всего на концах множителей (если начинать с умножения значащих цифр, то ученик может позже не вспомнить о нулях, а его приучают именно к этому);
– умножаю значащие цифры первого числа на второй множитель;
– чтение результата (интуитивно позволяет еще раз убедиться, что число не уменьшено из-за пропуска нулей, поскольку прикидка результата хотя и понятна многим ученикам, но самостоятельное обращение к ней для проверки полученного произведения доступно в этом возрасте лишь единицам).

Изредка при умножении на круглое число встречается ошибка из-за того, что ребенок, занявшись пересчитыванием и записыванием нулей, забывает умножить на значащую цифру второго множителя, произведя только умножение на единицу с данным количеством нулей (5). Следует обратить его внимание на это упрощение и отработать на подобранных заданиях.

Новым на этапе умножения на двузначное число является запись второго неполного произведения и из-за его появления возрастание количества вычислительных операций. Отработке последовательности выполнения этих действий надо уделить особое внимание, учитывая, что необходимость сдвига часто левшами не отслеживается из-за пространственных трудностей, а значит должна быть ярко доказана при объяснении и закреплена при отработке. Иначе предстоит услышать такого рода оправдания: "Это, знаете-ли, так легко забывается…" или "Фу, опять забыл!".

Какие еще ошибки наиболее часто встречаются у левшей?

Во-первых, из-за того, что ввиду возрастающей сложности алгоритма контроль за уже второстепенными к этому моменту операциями ослаблен и наряду с неверно воспроизведенными табличными результатами, вновь появляются зеркально записанные ответы, например, 24 вместо 42 (6).

Во-вторых, накапливающиеся проблемы с распределением внимания из-за необходимости все чаще запоминать числа, держать "в уме" как при умножении, так и при сложении неполных произведений, приводят к учащающимся сбоям. И, наконец, неточное списывание и неаккуратная запись, приводящая к неверным результатам (7).

Умножение на число, имеющее в середине один или несколько нулей, приводит к ошибкам записи второго и последующих неполных произведений из-за того, что ученик, сдвигая второй результат умножения, не учитывает, что производит уже умножение сотен, однако для левши характернее (8) сдвиг неполного произведения влево на большее, чем необходимо количество разрядов. Способ борьбы остается прежним – точное следование правилу выполнения умножения для такого случая и усиленный контроль за местом возникновения "любимой" ошибки. Однако наиболее трудны оказываются общие случаи умножения, в которых приходится обращаться к примерам из конца таблицы умножения, постоянно преодолевать переход через разряд, то есть интенсивно выполнять разнородные операции с неослабевающим вниманием.

Необходимость, с одной стороны, длительного напряжения, а с другой – постоянное переключение с одной вычислительной операции на другую быстро вызывают утомление, снижение работоспособности и возникновение ошибок. Поэтому в третьем классе лучше ограничиться умножением двух-трехзначных чисел без долговременных перерывов в практике, чреватых возвращением старых ошибок.

Варианты ошибочного выполнения алгоритма письменного умножения:

Продолжение следует