Эльвира АЛЕКСАНДРОВА

Математика

Пояснительная записка

Данные контрольные работы составлены в соответствии с Государственной программой Э.И. Александровой (система Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова) и могут быть использованы как для проверки знаний, умений и навыков, так и в качестве диагностики, позволяющей оценить границу знаний учеников, их способность самостоятельно определять эту границу.

Контрольные работы можно использовать как для четырехлетней начальной школы, так и для трехлетней, они не требуют нескольких вариантов, задающих разные уровни трудности, поскольку предоставляют ребенку возможность выбора, обеспечивающего дифференцированную оценку трех основных уровней выполнения: низкого, среднего и высокого.

Каждая контрольная работа предназначена для выполнения в два или три приема (в зависимости от темпа детей). Не допускается занижение отметки в том случае, если ребенку не была предоставлена возможность выполнения какого-либо задания в связи с нехваткой времени.

Наборы заданий, как и сами задания, должны быть напечатаны на отдельных листах так, чтобы ими было удобно пользоваться. Для дополнительных способов выполнения заданий можно использовать тетрадные листы. При таком подходе каждый ребенок будет выполнять работы в индивидуальном темпе.

В зависимости от конкретной ситуации учитель вправе дополнить предлагаемые наборы недостающими с его точки зрения заданиями или составить аналогичные.

Оценивание выполненных работ происходит адекватными системе развивающего обучения средствами. Как известно, в системе обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова используется безотметочное оценивание работы ребенка, основанное на содержательной, дифференцированной оценке учителей, которой предшествует самооценка ребенка по четким критериям, полученным от учителя¹.

Для такого дифференцированного оценивания используют разные инструменты, которыми пользуются учителя.

Первым и наиболее простым является использование "линеечек" и второй – использование балльной оценки. Оба способа учителю хорошо знакомы из работ Г.А. Цукерман. Сопоставление для отчета перед администрацией полученных оценок с традиционными отметками по пятибалльной шкале не вызовет у учителя затруднений. Однако учителю РО необходимо помнить, что для такого сопоставления достаточно сделать выборку выполненных заданий в объеме и по сложности, не превышающим требования, предъявляемые к минимуму знаний.

Для получения полной картины необходимо рассортировать выполнение каждого задания на три основных уровня их выполнения: низкий, средний и высокий, что без труда сделает любой учитель.

Форму записи решений ученик может выбрать по своему усмотрению.

При соотнесении качества и объема выполненной работы с отметкой по пятибалльной шкале не допускается ее снижение за исправления, грамматические ошибки или нарушение общепринятых записей (их, как принято в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, можно оценивать по отдельной шкале). Эти показатели несущественны при оценке математической подготовки учащихся.

Для качественного анализа выполнения работы учитель сначала составляет таблицы обработки полученных данных, на основании которых можно сделать анализ. Они прилагаются к первой работе. К последующим работам учитель составит таблицы самостоятельно.

Урок анализа контрольной работы и работа над ошибками проводятся не способом обсуждения того, как нужно было правильно выполнить предложенные задания, а обсуждением в группах того, какие ошибки могли быть допущены при выполнении каждого задания. Это значит, что, проверяя контрольную работу, учитель не делает в работах детей никаких пометок. Работа выглядит так, как если бы ее не проверяли. Это дает возможность после обсуждения характерных для данного задания ошибок, выявленных учителем, спрогнозированных и зафиксированных детьми с помощью условных символов во время совместного обсуждения, предложить каждому ребенку посмотреть, нет ли в его работе тех ошибок, о которых говорили дети. Причем обосновать причину каждой ошибки, которую прогнозируют дети, работая в группе, нужно предложить тому ребенку, который именно такую ошибку и сделал (о чем, естественно, он не догадывается, поскольку в его работе учитель никаких пометок не делал). Составляется справочник ошибок, опираясь на который, ребенок приступает к самостоятельной проверке. Теперь, вооружившись ручкой, пишущей цветом, отличным от того, каким написана работа, ребенок исправляет найденную ошибку. Предметом беспокойства должны стать те дети, которые не смогли обнаружить в своей работе допущенные ошибки. Учитель, выяснив причину такой ситуации, планирует коррекционную работу.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1-й класс (1–4)

Контрольная работа № 1

Задание 1

Сравни длины сторон многоугольников, которые отмечены. Докажи, что ты сравнил правильно. Запиши ответ в виде формулы на самом многоугольнике.

Задание 2

Известно, что

1) А = В, В = С
2) А > В и В = С
3) А = М и В = С
4) А > В, В > K, С < K

Сравни А и С.

Задание 3

Подбери подходящую схему к каждой задаче и реши их.

1. В одной вазе стояло а цветков, а во второй – b цветков. Сколько всего цветков стояло в двух вазах?

2. У Даши было k бантиков. Когда ей подарили еще несколько бантиков, то всего их стало d. Сколько бантиков подарили Даше?

3. Когда из коробки с конфетами съeли а конфет, а потом еще b конфет, то в ней осталось с конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?

4. В первый день туристы прошли а км, а во второй – на b км больше. Какой путь прошли туристы за два дня?

Примечание. К первой задаче дети могут подобрать в качестве подходящей схему 2 или 3 либо обе ("линейную" схему под номером 2 можно считать преобразованной из "ступенчатой" схемы 3). Аналогично к задаче 4 подходящими можно считать схемы 2 и 4.

Задание 4

По схеме составь все уравнения, которые сможешь:

Задание 5

Начерти к каждому уравнению схему и найди х.

1) х - k = с х =
2) х + b = а х =
3) m - х = р х =
4) а + (х + b) = с х =
5) х – d – k = m х =

Подбери вместо букв подходящие числа к любому уравнению и вычисли, чему равен х.

Контрольная работа № 2

Задание 1

Проверь, правильно ли по схеме составлены уравнения.

а + х = b
а + b + с = х
b – х = а
х = а + b – с
х = а – b
х – а + b = с
b = х + а
а = х – (b + с)

Допиши уравнения, которые, по-твоему, можно было бы еще составить.

Задание 2

Проверь, правильно ли решены уравнения.

1) а + х = b
х = b – а

х – а = b
х = b + а

m – y = n
y = n + m

Задание 3

Проверь, какое из данных уравнений подходит для решения задачи.

1. На дереве сидело несколько птичек. Когда 3 птички улетели, на нем осталось 5 птичек. Сколько птичек было на дереве первоначально?

1) х = 5 – 3
2) х – 3 = 5 х = 5 + 3
3) 3 = х – 5 х = 5 + 3

2. Оля очень любила конфеты. После завтрака она съела a конфет, после обеда – b конфет, а после ужина еще несколько. Всего за день Оля съела c конфет. Сколько конфет она съела за ужином?

1) а + b + х = с
х = с – (а + b)

2) х = а + b + с

3) с = х + а + b
х = с – а – b

4) с + х = а + b
х = а + b – с

5)а + b = с – х
х = с – а – b

6)х + а + b = с
х = а + b – с

Задание 4

Определи, какой из данных схем пользовался ученик, если решение уравнения он записал так:

1) х = а – b

Какие еще уравнения мог составить ученик по той же схеме?

2) x = c – a – b

Какие еще уравнения мог составить ученик по той же схеме?

Задание 5

Перед тобой схема, на которой показаны 2 части и одно целое.

1) Придумай и нарисуй схему, на которой показаны 3 части и 1 целое.
2) Придумай и нарисуй такую схему, на которой показаны 3 части и 2 целых.
3) Придумай и нарисуй схему, на которой показано 2 части и 3 целых.

2-й класс (1–4)

Контрольная работа № 1

Задание 1

Проверь, правильно ли выполнены действия:

Покажи (красным цветом), где допущены ошибки, и исправь их.
Запиши, что не знают или не умеют ученики, которые сделали такие ошибки.

Задание 2

Проверь, правильно ли ученики решали уравнения. Вычисли результат там, где ты сможешь.

1) х + 3 = 5
х = 5 – 3

2) z – 175 = 624
z = 624 – 275

3) 1251 – y = 629
y = 1251 – 629

4) 2 + x = 1
x = 2 – 1

5) 2x – 3 = x + 5
x = 3 + 5

6) а – x = b + c
x = a – b – c

Что ты посоветуешь тому, кто хочет научиться проверять, нет ли ошибок при решении этих и других уравнений? Запиши свой ответ.

Задание 3

Построй одну или несколько фигур такой же площади, но другой формы.

Докажи, что у фигуры, которую ты построил, такая же площадь, как и у данной фигуры.

Задание 4

1. Семья из трех человек отправилась на машине путешествовать. В первый день они проехали а км, во второй – на b км меньше. Сколько километров они проехали во второй день?

2. Семья из трех человек отправилась на машине путешествовать. В первый день они проехали а км, во-второй – на b км меньше. Сколько километров они проехали за два дня?

После того как дети записали решение этих задач, они вместо букв a и b подбирали подходящие числа. Как ты думаешь, какие из данных пар чисел они могли выбрать?

1) a = 5, b = 2
2) a = 30000, b = 3000
3) a = 200, b = 220
4) a = 426, b = 123
5) a = 300, b = 100
6) a = 280, b = 279

Если можешь, реши любую задачу (или обе) и запиши ответ на ее вопрос.

Контрольная работа № 2

1. Выбери из каждого набора заданий только те, которые сможешь решить. Реши их.

2. Из оставшихся заданий выбери и отметь буквой "Т" те задания, которые кажутся тебе трудными, а буквой "Н" – те которые, по-твоему, вообще невозможно выполнить.

Набор 1

Задание 1

Реши уравнения.

1) x + 7 = 10
2) x – 275 = 326
3) 5236 – x = 1972
4) 92367 + z = 260891
5) 2x – 5 = x
6) a – x = b
7) 1 – x = 6
8) y + 124 = 500
9) 3864 = x – 4651
10) x – =

Задание 2

По схеме составь уравнения.

Набор 2

Реши задачи, затем вместо букв подбери подходящие числа и ответь на вопрос задачи.

1. В классе было a девочек, а мальчиков – на b больше. Сколько детей училось в классе?

2. В двух вазах стояли цветы. В первой вазе было на 3 цветка больше, чем во второй. Сколько цветов стояло во второй вазе?

3. На трех полках стояли книги. На первой полке стояло a книг, на второй – на b книг меньше, чем на первой. Сколько всего книг стояло на полках?

4. На двух полках стояло книг поровну. C первой полки на вторую переставили 10 книг. На какой полке теперь книг больше и на сколько?

Набор 3

Задание 1

Начерти числовую прямую и отметь на ней числа 2, 4, 5.

Задание 2

Определи, какие числа "живут" в указанных точках на числовых прямых.

а)

б)

Задание 3

Определи направление числовой прямой и поставь стрелку, если известно следующее.

Задание 4

Ученикам 6-го класса нужно было сравнить данные числа с помощью числовой прямой, на которой было показано их место.

Если cможешь, поставь вместо точек знаки >, < или =.

 Набор 4

Задание 1

Сравни числа.

983 и 1001
19990 и 19090
371 и 137
352₆ и 400₆
1000₃ и 222₃
11₃ и 11₆
21₄ и 100₃
114₃ и 121₃

Задание 2

Выполни действия.

Задание 3

Реши задачи.

1. Даша за день съeла 100₂ яблок, а маленький Саша – на 10₂ меньше. Сколько всего яблок съели дети за день? Запиши ответ в двоичной системе счисления и, если сможешь, в десятичной.

2. У Оли было 111₂ видеокассет с мультиками и 11₂ видеокассет с детскими кинофильмами. Сколько всего видеокассет было у Оли? Запиши ответ в двоичной системе счисления и, если сможешь, в десятичной.

3-й класс (1–4)

Контрольная работа № 1

Задание 1

Проверь, правильно ли выполнены действия.

Задание 2

Проверь, правильно ли ученики решали уравнения. Вычисли результат там, где ты сможешь.

1) х х 8 = 1616
х = 1616 : 8

2) 96 : х = 3
х = 96 х 3

3) х : 25 = 100
х = 25 х 100

4) х х 8 = 4
х = 8 : 4

5) х х 5 + 7 = х х 6
х = 7 х – а = с : b

6) (х – а) х b = с
х = с : b + а

Задание 3

Начерти прямоугольник, площадь которого можно вычислить по формуле 8 х 5 или а х b.
Запиши, как узнать, чему равна сторона квадрата той же площади.

Задание 4

Дети решали такие задачи.

1. Ученики вместе с родителями и учителями поехали отдыхать на природу в 5 легковых автомобилях и 2 автобусах. В каждый автомобиль поместилось по а человек, а в каждый автобус – по b. Сколько всего человек поехало на отдых?

2. Ученики вместе с родителями и учителями поехали отдохнуть на природу в 5 легковых автомобилях и 2 одинаковых автобусах. Всего с человек. Сколько человек уместилось в каждом автобусе, если в каждой легковой машине уместилось по а человек?

В этих задачах дети вместо букв а, b и с подбирают подходящие числа.

Как ты думаешь, какие из данных чисел они могли выбрать:

а = 30, b = 164, с = 478
а = 5, b = 36, с = 97
а = 4, b = 40, с = 100
а = 100, b = 200, с = 900

Если сможешь, реши любую (или обе) задачу и запиши ответ на ее вопрос.

Контрольная работа № 2

1. Выбери из каждого набора заданий только те, которые сможешь решить. Реши их.

2. Из оставшихся заданий выбери и отметь буквой "Т" задания, которые кажутся тебе трудными, а буквой "Н" – те, которые, по-твоему, вообще невозможно выполнить.

Набор 1

Задание 1

Реши уравнения.

1) х х 2 = 120
2) 264 : х = 2
3) х : 2 = 37
4) 6 х х = 0
5) 10 + x х 5 = 5
6) 100 х х = 5
7) а – b х х = с
8) х х 64 + 2176 = 6272
9) 12307 – х : 124 = 11932
10) х х 6 – 15 = х х 5

Задание 2

По схеме составь уравнения.

1)

2)

3)

Набор 2

Реши задачи, а затем вместо букв подбери подходящие числа и ответь на вопрос задачи.

1. В роще росло b тополей, а берез – в 4 раза больше. Сколько тополей и берез росло в роще?

2. На двух полках стояли книги. На одной из них а книг. Во сколько раз на этой полке книг было меньше, чем на второй?

3. На трех полках стояли книги. На первой стояло а книг, на второй – в 2 раза больше, чем на первой, а на третьей – на с меньше, чем на второй. Сколько книг стояло на трех полках?

4. В одном кармане денег было в 3 раза больше, чем в другом. Когда из первого кармана переложили во второй b рублей, то денег в обоих карманах стало поровну. Сколько денег было в каждом кармане первоначально?

Набор 3

Задание 1

Выполни действия.

1) 3792 + 7504; 93076 + 8236
2) 87631 – 61926; 173529 – 84135
3) 1326 х 4; 254 х 39; 8317 х 4009
4) 120642 : 6; 3939 : 13; 306909 : 1263

Задание 2

Найди значение выражений.

1) 25 х 376 х 40
2) 265 + 35 х 7 + 135
3) 126 – 26 : 13 + 37
4) (126 – 26) : (13 + 37)
5) 30275 – 69984 : 324 + 8776
6) 6257 + 873 х 45 – 9805 : 37

Задание 3

Подбери подходящие числа и выполни действия.

4-й класс (1–4)

Контрольная работа № 1

Набор 1

1. Выбери из каждого задания только те, которые сможешь решить.

Реши их.

2. Из оставшихся заданий выбери и отметь буквой "Т" те задания, которые кажутся тебе трудными, а буквой "Н" – те, которые, по-твоему, вообще невозможно выполнить.

Задание 1

Реши уравнения.

1)x х a + b = c
2)394 + x х 3 = 1087
3)560 : y = 14
4)x х 40 = 440
5)y х 2 + 30 = 50 + y
6)x : 82 = 6
7) x х 3 – 8 = x х 2
8) 50 х x = 10
9) 3 – x = 4
10) 560 – x = 14
11) c = m – x : a
12) y – 40 = 440

Нет ли среди данных уравнений одинаковых? Если есть, то запиши их номера.

Задание 2

По схеме составь уравнения.

Вместо букв подбери походящие числа и запиши, чему равна неизвестная величина.

Набор 2

Задание 1

1. Отметь значком "–" примеры, которые ты не умеешь решать сам, и поставь букву " Т " рядом с примерами, которые считаешь трудными (решать не надо).

2. Выбери и реши на отдельном листе два таких примера из каждой группы, с помощью которых ты сможешь показать, что умеешь выполнять действия с многозначными числами и дробями. Если хочешь, придумай и реши свои два примера к каждой группе.

3. Запиши ответы в тех примерах, которые можешь решить устно.

З а д а н и е 2

1. Поставь букву "У" возле тех выражений, значение которых ты можешь найти устно, и запиши ответ.

2. Выбери такое выражение, для нахождения значения которого тебе придется выполнить все четыре арифметических действия. Выполни их.

40 + 50 : (85 – 80) =
180 – 80 : 8 + 12 =
6400 : (28 + 12 х 6) =
360 : 6 х 4 : 4 =
(2713 х 65 + 2713 х 35) – 2713 х 100 =
864375 – 321 х 67 – 42054 : 326 =
(1923 – 671) х 6 + 11984 : 214 =
1429 – (429 х 328 – 429 х 327) =

Задание 3

Подбери подходящие числа и выполни действия:

 Контрольная работа № 2

Набор 1

Задание 1

Отметить только те схемы, к которым ты не можешь придумать или подобрать текст задачи.

Задание 2

Вернись к схемам в задании.

1) Выпиши только номера схем к задачам, которые ты сможешь решить.
2) Запиши номера схем:

а) к самым трудным для тебя задачам;
б) к легким для тебя задачам;
в) к самой интересной для тебя задаче (объясни, чем она интересна).

3) Реши по данным схемам любые две задачи.

4) Прочти из учебника задачи² и найди такой текст, который подходит к решенной тобой задаче.

Выпиши значения букв (а = …, b = … и т.д.). Подставь их в выражение и вычисли результат. Запиши ответ к задаче.

Набор 2

Выбери и реши такие две задачи из каждого задания, в которых не ошибешься.

Задание 1

1. Мама летом варила варенье. Клубничного варенья она сварила a кг, яблочного – в 2 раза больше, чем клубничного, а вишневого – на b кг больше, чем яблочного. Сколько всего килограммов варенья заготовила мама? Выбери подходящие значения a и b и реши задачу.

1) а = 8, b = 4
2) a = 3864, b = 2317
3) a = 12,3, b = 4,8
4) a = 1000, b = 100

2. Молоко разливали в бидоны. До обеда разлили a литров, а после обеда – b литров. Сколько бидонов понадобилось, если в каждый бидон вмещается c литров молока?

3. Овощной магазин продал b коробок с клубникой по с килограммов в каждой и столько же килограммов слив в а коробках. Сколько килограммов слив входило в каждую коробку?

4. Из двух городов навстречу друг другу вышли два поезда. Один из них шел со скоростью 90 км/ч, а другой на 20 км/ч быстрее. Через 5 часов они встретились. Найди расстояние между городами.

Задание 2

1. Начерти прямоугольник площадью 12 см² и найди его периметр.

2. Начерти прямоугольник, ширина которого 3 см, а длина в 2 раза больше. Вычисли его периметр и площадь.

3. Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Вычисли его периметр и площадь.

4. Начерти квадрат такой же площади, как прямо-угольник со сторонами 2 см и 8 см. Найди периметр квадрата.

5. Периметр квадрата 20 см. Найди площадь прямоугольника, у которого ширина такая же, как сторона квадрата, а длина на 3 см больше.

6. Построй одну или несколько фигур с таким же периметром, как у данной фигуры, но другие по форме.

7. Построй фигуру другой формы, но такой же площади.

8. Начерти две фигуры с одинаковыми периметрами, но разной площади.

Инструкция по проведению и Анализу контрольных работ

1-й класс

Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 1 поможет учителю проверить, насколько дети готовы при решении частных задач применять понятия отношений равенства и неравенства, частей и целого.

Поскольку систематическое изучение понятия числа как результата измерения величин начинается во втором классе, проверку выполнения действий с числами можно рассматривать только как отражение дошкольного опыта ребенка, а это значит, что речь может идти лишь о счете в пределах 10. Такая проверка будет показывать лишь уровень дошкольной подготовки, которую в течение года старались поддержать у тех, кто уже умел считать до школы, а тем, кто не имел такой возможности, помочь в приобретении этого умения.

Каждое задание предлагается в нескольких вариантах. Ребенок выбирает сам любой из вариантов, который он может выполнить.

Ребенок вправе выбрать в каждом задании любой вариант. Задания, ориентированные на более высокий уровень овладения ребенком средствами анализа, как правило, под последними номерами.

Прокомментируем те задания, предъявление и анализ которых может вызвать у учителя трудности.

Задание 1

Цель задания

Проверить, могут ли дети применить понятия равенства и неравенства в ситуации, когда сравниваемые длины принадлежат одному и тому же предмету, в частности многоугольнику.

Постановка задания

Учитель показывает многоугольник, на котором отмечены две стороны, которые нужно сравнить и записать результат сравнения, причем это могут быть как соседние стороны, так и противоположные. Ребенок сам выбирает многоугольник, с которым он хотел бы поработать.

Способ предъявления задания

Каждому ребенку нужно дать четырехугольник или пятиугольник, у которого есть две равные стороны и одна отличающаяся от равных незначительно, чтобы на глаз нельзя было установить отношение.

На фигуре следует записать фамилию того, кто с ней работал. На ней же надо записать результат сравнения в виде формулы: а = b, а > b или а < b.

Двум рядом сидящим детям предложить на выбор для сравнения разные многоугольники.

Если для выполнения данного задания у детей возникает потребность в помощи соседа, то запрещать это не нужно. Пусть сделают на фигуре пометку о том, что работали вдвоем. Например, пусть напишут букву "П" – помощь.

Возможные способы действия при сравнении:

1) перегибанием и совмещением сторон (непосредственное сравнение – известный детям способ). Этот способ удобен для фигур, у которых предлагается сравнить соседние стороны;

2) построением одного под другим двух отрезков, равных сторонам (опосредованное сравнение);

3) построение одного отрезка, равного одной из сторон, и сравнение другой стороны с этим отрезком (по длине);
4) использование посредника, например листика бумаги, нитки, циркуля или измерителя и др;
5) измерение с помощью линейки каждой стороны и сравнение чисел;
6) другие способы (например, вырезание еще одного такого же многоугольника);
7) визуальное сравнение, например, ребенок говорит: "Я вижу, что они равны". В этом случае напомните ему, что глаза могут обманывать, и предложите ему способ подтвердить свое предположение.

Предложите ему в случае затруднения свою помощь следующим способом. Скажите, что вы готовы дать ему все необходимое для сравнения, пусть только скажет, чего ему недостает, чтобы решить эту задачу. Возможно, ребенок попросит дать ему еще одну такую же фигуру, чтобы он мог непосредственно сравнить стороны, прикладывая их друг к другу.
Если дети использовали несколько способов, то зафиксировать их не составит для учителя труда, сделав предварительно заготовку (см. способ фиксации результатов). Обойдите всех детей и пометьте, кто каким способом действовал.

Способ фиксации результатов.

В первую колонку к заданию 1 следует вписывать номер, под которым ниже записан способ, и букву "П", если привлекался сосед или учитель в качестве помощника. Во вторую колонку ставится знак "+", если сравнение выполнено верно; знак "-", если сравнение выполнено неверно; знак "0", если ребенок вообще отказался выполнять задание. С помощью такой таблицы учитель сможет проанализировать выполнение этого задания.

Задание 3

Цель задания

Проверить, могут ли дети применить понятие отношения частей и целого при решении текстовых задач, в том числе косвенных (задачи 2 и 3).

Способ предъявления задания

Задания и схемы к ним должны быть написаны на доске и напечатаны на отдельном листе, который ребенок подписывает и сдает, выполнив на нем работу.
Помните, что, пренебрегая данной инструкцией, вы провоцируете детей на ошибки, не связанные с проверяемым материалом. Списывание текста и тем более схемы, как и любое другое списывание, есть особое действие, требующее специального обучения³.

Постановка задания

Выбрав подходящую схему, ребенок под ней пишет решение. Это значит, что схемы нужно расположить так, чтобы было достаточно места для записи решения.

Способ фиксации результатов

Обработку данных можно сделать с помощью таблицы, в которой напротив фамилии ребенка указать номер места, на котором была записана та схема, с которой работал ученик. Колонку не стоит заполнять, если ученик с этой задачей не работал. В колонке "Решение по схеме" следует поставить знак "+", если оно верно. Если решение неверно, то нужно охарактеризовать ошибку.

На основании таблицы можно сделать следующий анализ:

1) выписать под каждой схемой, с которой работали дети, их фамилии. Это даст возможность увидеть, кто из детей может установить зависимость между текстом и схемой, а кто нет. Поняв характер ошибки, вы подберете задания, помогающие ребенку понять способы ее устранения;
2) можно составить список детей, которые решили только первую задачу, только вторую, только третью и т.д.;
3) понятно, что высокий уровень овладения материалом имеют те дети, которые выбрали задачи 3 и 4.

Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 2 направлена на выявление у детей степени усвоения ими таких учебных действий, как моделирование⁴, контроль⁵ и оценка⁶.
Каждое задание, как и в предыдущей работе, дается в нескольких вариантах, для того чтобы ребенок сам выбрал тот, с которым, как он считает, сможет справиться.

Задания 1–4

Цель 1, 2, 3 и 4 заданий

Первые четыре задания позволят учителю выявить степень сформированности действий контроля и оценки и уровень усвоения предметного материала. Очевидно, что если ребенок не сможет отличить правильное решение от неправильного, то вряд ли он сможет самостоятельно его выполнить. Предложение оценить правильность выполнения чужой работы даст возможность учителю увидеть "слабые" места каждого ребенка. В этом случае можно предложить ему запросить помощь у учителя, сделав соответствующую пометку.

Способ предъявления задания

Контрольная работа должна быть написана на доске и напечатана на отдельном листе так, чтобы у ребенка была возможность не только отметить, какое из решений в первых четырех заданиях он считает правильным, но и вписать, если нужно, свое решение.

Постановка задания

Предложите каждому ребенку выбрать для выполнения один или несколько вариантов в первых четырех заданиях при условии, что он не сомневается в том, что выполнит правильно.
Неважно, какой из вариантов будет выполнять ребенок, главное – проверить адекватность оценки своих возможностей.
Поскольку выполнение заданий также связано с действием оценки, то ученик должен рядом с каждым решением поставить знак "+", если он считает, что задание выполнено правильно, знак "-", если неверно, и знак "?", если он сомневается. Место для отметки – квадратик.
Если ребенок хочет, он может запросить помощь взрослого, о чем дети должны быть предупреждены.
Анализ контрольных работ и работу над ошибками учитель может провести известными ему способами.

Задание  5

Задание 5 отличается от первых четырех.
Его назначение состоит в том, чтобы проверить способность ребенка действовать там, где это возможно, и отказаться от действий там, где это делать бессмысленно. Кроме того, задание 5, как и предыдущее, дает возможность проверить, на каком уровне сформировано у первоклассника действие оценки по отношению к самому себе, позволяющее отделить собственные знания от незнания.
Задание нарисовать схему, на которой было бы 3 части и 1 целое не должно вызвать затруднение:

А вот показать 3 части и 2 целых уже значительно сложнее, так как для построения такой схемы ребенок должен понимать относительность понятия частей и целого: одна и та же величина по отношению к одной величине может быть частью, а по отношению к другой – целым.

Например:

Величина к является частью по отношению к величине а и целым по отношению к частям с и d, поэтому она помечена и знаком , и знаком .

Возможно, дети увидят еще одно целое, обозначив его буквой, например: m, если Не исключено, что на момент проверки ребенок еще не осмыслил до конца такие отношения, однако на данном этапе очень важно сделать первый срез.

Предложение придумать схему с 2 частями и 3 целыми абсурдно. Очевидно, ребенок отметит этот случай, как и предыдущий, как задание с "ловушкой".

Вот тогда-то и предложите ребенку высказать свое соображение в форме двух типов ответов: "Я это не могу (не знаю, не умею) сделать" или "Это вообще нельзя сделать".

При оценивании нормой на данном этапе можно считать выполнение первого задания на придумывание схемы с 3 частями и 1 целым и отказ от последующих предложений.

Дети, которые смогут показать уже в конце первого класса на схеме 3 части и 2 целых, достигли высокого уровня осмысления данного понятия. Поскольку изучение математики в последующих классах включает использование понятия об отношении частей и целого при решении следующих учебных задач, дети еще будут иметь возможность достигнуть высокого уровня.

2-й класс

Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 1 предназначена для проверки уровня сформированности действий контроля и оценки у учащихся.

Умение видеть ошибкоопасные места предопределяет формирование навыка и является одним из показателей сформированности указанных действий (контроля и оценки).

Контрольная работа должна быть напечатана на листах так, чтобы ребенок имел возможность не только пометить и исправить найденные им ошибки, но и записать решение.

Задание 1

Цель задания

Оценить не только сформированность у ребенка действий контроля и оценки, но и степень овладения знаниями и умениями (в неявном виде) по теме "Сложение и вычитание многозначных чисел".

Если ученик способен выявить допущенные ошибки, а также каким-либо еще способом зафиксировать причины, которые привели ученика к такой ошибке, то это есть необходимое (хотя и недостаточное) условие того, что при самостоятельном выполнении аналогичных заданий он, прежде чем их выполнять, задумается над тем, какие ошибки возможны. Это значит, что, мысленно составив план действий, он уже не допустит их. Следующая контрольная работа даст возможность учителю соотнести уровень сформированности действия контроля с уровнем самостоятельного выполнения аналогичных заданий.

Задание 2

Цель задания

Оценить уровень сформированности понятия отношения частей и целого; проверить, на что ориентируется ребенок при решении уравнения.
Для этого детям предлагаются уравнения, в которых части и целое представлены конкретными числовыми значениями, включая многозначные числа.
При выборе способа нахождения корня уравнения ребенок может опираться как на связь между частями и целым, так и на конкретные числовые значения, что и необходимо выявить.
Для этого предлагается три типа уравнений:

а) первые четыре уравнения в отличие от остальных содержат целое, состоящее только из двух частей, причем неизвестное – либо часть, либо целое.
Однако задавая в готовом виде способ нахождения неизвестной величины, можно определить, на что ориентируется ребенок: на конкретные числа, действия с которыми он умеет выполнять, или, не обращая внимания на числа, на отношения между величинами;

б) уравнение 2х – 3 = х + 5 является для ребенка совершенно незнакомым. Ему еще не приходилось иметь дело с подобными уравнениями, в которых неизвестная величина содержится в обеих частях уравнения; ребенок должен либо отказаться от его оценки, поставив рядом знак "?", а это значит, что он фиксирует границу между собственным знанием и незнанием, либо предпринять попытку нарисовать схему, с помощью которой можно оценить способ нахождения неизвестной величины. Например:

или

х = 5 + 3, то есть х = 8

Но такое решение возможно лишь в том случае, если дети могут самостоятельно соотнести запись 2х с суммой х + х.

Возможен, но наименее вероятен вариант, при котором, узнав, что х = 8, дети вместо х подставят число 8, получат верное равенство и сделают вывод о том, что уравнение решено верно. Это маловероятно, так как, во-первых, запись 2х, как уже говорилось, еще не осмыслена как х + х, а значит, вычислить, чему равно 2х, если х = 8, ребенок не сможет. Во-вторых, дети должны ориентироваться на способ решения уравнения, а не на готовый результат, даже если он известен. Именно поэтому детей на данном этапе обучения учитель не учит делать проверку путем подстановки;

в) уравнение а – х = b + с предназначено для того, чтобы оценить уровень овладения понятием отношения частей и целого в чистом виде, когда числовые значения не оказывают на ребенка давление. Сравнив решение этого уравнения с предыдущими, учитель сможет обнаружить, понимает ли ребенок способ решения уравнений на основе понятия отношения частей и целого или демонстрирует лишь натренированность на решении конкретных типов уравнений. Такую ситуацию можно будет зафиксировать в том случае, если решение уравнения 2 + х = 1 он оценивает как верное наряду с уравнениями х + 3 = 5 и a – х = b + с.

Отвечая на вопрос в конце задания, ребенок может нарисовать схему и описать отношения между частями и целым в знаковой форме: + = , = - .

Задание 3

Цель задания

Выявить:

1) наличие у ребенка мыслительной операции сохранения;

2) умение построить величину, равную данной в ситуации, когда для решения данной задачи необходимо одно из двух умений:

а) умение выбрать удобную мерку, измерить ею данную площадь, а затем по мерке и числу построить фигуру той же площади, но другой формы;
б) умение разбить данную (мысленно или натурально) фигуру на части (равные или неравные) и, изменив положение частей на плоскости, построить равносоставленную фигуру другой формы.

Например:

Высоким уровнем выполнения задания можно считать построение фигуры, состоящей не только из частей-квадратов, но и, например, из частей-треугольников.

Задание 4

Цель задания

Обнаружить умение ребенка решать задачи, увидеть, связывает ли ученик выбор числовых значений величин с реальной ситуацией и возможностью выполнения действий, необходимых для ответа на вопрос задачи. Другими словами, речь идет об области допустимых значений букв по отношению к сюжету задачи и по отношению к выполнимости арифметических действий, в частности действия вычитания.

Можно предложить детям вычеркнуть те пары чисел а и b, которые подобраны неверно.

Ясно, что останется только две пары чисел а = 300, b = 100 и a = 426 и b = 123. Остальные пары не подходят либо из-за нереальности (a = 5, b = 2, a = 30000, b = 3000, a = 280, b = 279), либо из-за невозможности выполнения действия вычитания (a = 200, b = 220).

Теперь дети сделают свой выбор и вычислят либо при a = 300, b = 100, либо при a = 426 и b = 123.

Выполнение задания можно оценивать как высокий уровень в том случае, если ребенок выбрал вторую задачу и указанные пары чисел.

Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 2 предназначена для проверки как уровня усвоения изученного материала, так и уровня сформированности оценочной самостоятельности. Очевидно, что на данном этапе дети еще не могут достичь полной оценочной самостоятельности, оценки границ своих знаний и умений, но проверить состояние умения оценивать свои достижения необходимо. Для этого в каждый набор заданий включены так называемые задания с "ловушками". К ним на данном этапе обучения относятся как задания с недостающими данными (например, набор 2, задачи 2 и 3), так и задания, способы работы над которыми не рассматривались (например, набор 1, уравнения 5 и 7).
Выполнять контрольную работу № 2 необходимо в два или три приема (в зависимости от темпа детей). Это значит, что наборы заданий и задания в них должны быть напечатаны на листах так, чтобы удобно было ими пользоваться.

Набор 1

В этот набор включены простые уравнения (задание 1), компонентами которых являются как числа, так и буквы.
Среди данных уравнений особо обратите внимание на уравнения 1 – х = 6 и 2х – 5 = х, которые могут быть оценены детьми как задания с "ловушками".
Так, решение первого уравнения х = 1 – 6 требует вычитания из меньшего числа большего, чего дети делать не умеют. Тут интересно посмотреть, в каком виде будет записано решение: х = 1 – 6 или показано место этого числа на числовой прямой без обозначения этого числа.
Любое из приведенных решений может быть оценено как верное решение.
Второе уравнение (2х – 5 = х) также может быть решено при условии, что за записью 2х, которой дети на данном этапе не владеют, ребенок увидит х + х и построит схему.

Опираясь на схему, ученик может записать х = 5. Однако оценка данного уравнения как уравнения с "ловушкой" вполне удовлетворительна.
Для положительного оценивания знаний, умений и навыков ребенка достаточно решенных одного-двух уравнений и одной задачи (задание 2).

Набор 2

Включает в себя задания с "ловушками" иного типа, чем в наборе 1.
Задачи 2 и 3 – задачи с недостающими данными. Значение таких задач в контрольной работе многократно описывалось. Остается лишь заметить, что если в классе найдутся дети, которые самостоятельно доопределят задачу или позовут учителя и попросят его уточнить условие, то это следует оценить как высокий уровень выполнения данного задания.
Задача 4 внешне похожа на задачи с недостающими данными, однако может быть решена при условии построения схемы. Важно посмотреть, будет ли ребенок опираться на графическую модель при решении такой задачи. Форма записи ответа значения не имеет.
Схема к задаче может выглядеть так.

Для положительной оценки достаточно одной решенной задачи.

Набор 3

В данном наборе приведены задания разного уровня сложности, а также недоопределенные задания, которые не имеют однозначного решения (задание 3, в).
Особое место в этом наборе занимает задание 4, в котором детям предлагается с помощью числовой прямой сравнить числа, с которыми они не знакомы.
Перед выполнением этого задания необходимо сказать ученикам о том, что в старших классах они будут изучать числа, с которыми сейчас еще не знакомы, но о которых они, наверное, слышали: отрицательные числа и дробные. После этого вступления можно предложить сравнить данные числа.
Рассмотрим варианты правильного выполнения этого задания. Их два:
1) отказ от сравнения с пометкой "ловушка";
2) сравнение этих чисел с опорой на известный способ сравнения: из двух чисел на числовой прямой больше то, которое расположено дальше по направлению.
Положительными результатами можно считать выполнение одного (4, а) или двух (4, а и 4, в) сравнений.

Набор 4

В данном наборе в задании 1 встречаются пары чисел, от сравнения которых ученик может отказаться: 11₃ и 11₆; 21₄ и 100₃; 114₃ и 121₃. Сравнение подобных чисел не является предметом изучения в основном курсе математики, и поэтому интересно проверить, как будет вести себя ребенок по отношению к таким заданиям. Для сравнения первой пары ребенок мысленно или графически должен представить сравниваемые величины, а для сравнения другой пары нужно построить соответствующие величины.

Сравнить числа 114₃ и 121₃ невозможно, так как в троичной системе счисления не существует первого числа – один один четыре в троичной системе счисления (114₃). Возможно, найдутся дети, которые напишут, как могло быть записано число, соответствующее той величине, которую измеряли дети и охарактеризовали числом 114₃. Тот, кто написал такое число, либо не знает, либо не обратил внимание на то, что в троичной системе счисления для записи многозначного числа могут быть использованы только цифры 0, 1 и 2, а значит, цифры 4 быть не может. Это задание ребенок также вправе рассматривать как задание с "ловушкой".
Для положительной оценки выполнения данного задания достаточно сравнить числа, данные в десятичной системе счисления.

В задание 2 включены: 1) примеры на сложение и вычитание чисел в десятичной системе счисления, выполнения которых достаточно для положительного оценивания; 2) примеры на сложение и вычитание в недесятичных системах счисления, выполнение которых даст возможность определить уровень осмысления основного принципа сложения и вычитания многозначных чисел; 3) два числа, записанные в разных системах счисления, которые нужно сложить. Его дети могут оценить как задание с "ловушкой". Однако, если найдутся ученики, которые сделают попытку выполнить действие с числами путем выполнения действия с соответствующими величинами, и результат такого действия будет описан числом как результатом измерения этой новой величины с помощью системы мерок, то это можно считать очень высоким уровнем выполнения задания.

Задание 3 не содержит никаких подвохов с точки зрения способа решения задачи, однако обе задачи содержат: 1) непривычные для ребенка числовые данные, записанные в двоичной системе счисления; 2) предложение записать ответ в десятичной системе счисления. И то и другое не входит в программу обучения. Если ребенок сможет, решив задачу, перевести полученное число из двоичной в десятичную на основе перемеривания величины – результата, то это нужно рассматривать как высокий уровень выполнения задания.

Для положительного оценивания работы достаточно решения одной задачи, причем основой при оценивании должен быть способ решения, а не вычисления.

3-й класс

Контрольные работы № 1, 2 – назначение этих контрольных работ и инструкции к их проведению аналогичны контрольным работам для 2-го класса.

4-й класс

Контрольная работа № 1

Набор 1

В задании 1 детям предлагаются уравнения разного уровня сложности. Уравнения под номерами 3, 4, 6, 8, 9, 10 и 12 относятся к простым уравнениям, уравнения 8 и 9 позволяют проверить, на что ориентируется ребенок: на связь между данными величинами или на их числовые значения. Так, уравнение 50 х x = 10 может быть ошибочно решено так: х = 50 : 10, вместо х = 10 : 50 или х = 0,2, а уравнение 3 – х = 4 – как х = 4 – 3, то есть х = 1 вместо х = 3 – 4 с последующим указанием на "ловушку".

Особое место занимают уравнения 5 и 7, которые содержат х в обеих частях. Такие уравнения детям незнакомы. Это значит, что ребенок может отказаться от его решения. Это будет означать, что он умеет самостоятельно определить границу между собственным знанием и незнанием. Возможно, он предпримет попытку нарисовать схему, с помощью которой можно найти значение неизвестной величины. Это должно быть оценено как высокий уровень выполнения.

Например, схема к уравнению 5:

х = 20

Схема к уравнению 7:

х = 28

Ответ на вопрос – "Нет ли среди данных уравнений одинаковых?" – даст возможность учителю проверить, выделяет ли ребенок существенный признак при сравнении уравнений, которым являются отношения между величинами, или он ориентируется на несущественный – числовые или буквенные данные.
К одинаковым уравнениям могут быть отнесены 1 и 2; 3 и 6, 4 и 8, 9 и 10.
Возможна и другая классификация, по которой все уравнения могут быть разбиты на две группы: в одну – все, у которых неизвестная величина является целой (6, 12), ко второй группе относятся все остальные, в которых неизвестная величина является частью.
Задание 2 проверяет уровень сформированности понятия отношения частей и целого: для низкого уровня выполнения задания достаточно составить по одному уравнению к каждой схеме или по 2–3 уравнения к первой и второй схемам.
К высокому уровню можно отнести составление 4–5 уравнений к четвертой схеме, включая подбор подходящих чисел.

Набор 2

Формулировки заданий 1 и 2 исчерпывающе описывают назначение этих заданий.
По тому, что выберет ребенок и как выполнит выбранные задания, учитель сможет оценить уровень сформированности вычислительного навыка.
В задание 3 включены две "ловушки" (5 и 7).
Дети должны это отметить и либо отказаться от выполнения этих заданий, поставив знак "Н" – знак невозможности выполнения, либо преобразовать условия так, чтобы задание стало выполнимым.
Для традиционной отметки в "5" баллов за выполнение данной контрольной работы достаточно: из первого набора заданий правильно решить два уравнения, составить по одному уравнению к двум первым схемам задания 2; из второго набора выполнить по одному примеру на действия в пределах 10000 и найти числовое значение одного из данных выражений в задании 2. Задание 3 можно в сочетании с другими выполненными заданиями оценить отдельно. Нельзя допускать отрицательного оценивания тех заданий, от которых ребенок отказался, считая их невыполнимыми или трудными. По ходу выполнения контрольной работы необходимо напоминать детям, что они должны выполнить из каждого задания только те, в правильности выполнения которых они не сомневаются. Оценивается не объем выполненной работы, а ее качество – вот что должны понять дети перед выполнением каждой контрольной работы, каждого набора заданий и каждого задания.

Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 2 дает возможность проверить не только умение решать текстовые задачи, уровень сформированности действия графического моделирования, но и возможности ученика оценить свои умения.
Проведение этой контрольной работы не нуждается в дополнительной инструкции. Она аналогична инструкции к контрольной работе № 1.
Эта работа, как и первая, проводится в два этапа (в разные дни).
Для традиционной отметки в "5" баллов достаточно правильно выполнить любые две задачи из первого набора заданий, или одну из первого набора и одну из второго набора задания 1, а также одну любую задачу из задания 2.
Выполнение нескольких заданий из каждого набора может оцениваться отдельно. Напоминаем, что задания выполняются на отдельных листах, из которых выбираются те, которые смог выполнить ребенок. Оценить уровень выполнения заданий не составит для учителя труда.

¹ Г.А. Цукерман. Оценка без отметки. М.– Рига: Изд-во ПЦ "Эксперимент", 1999.

² Учитель самостоятельно подбирает номера задач из любых действующих учебников.

³ В.В. Репкин, Н.В. Репкина. Развивающее обучение: теория и практика. Томск: Пеленг, 1997, с. 130–131.

⁴ Речь пойдет о моделировании выделенных отношений равенства и неравенства, частей и целого.

⁵ Речь пойдет о контроле за способом действия при конкретизации понятий о выделенных отношениях.

⁶¹ Речь пойдет о самооценке собственных знаний, об отделении знания от незнания.