ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ"

Ирэн АРГИНСКАЯ,
Елена ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекция 6.

Методические особенности формирования вычислительных навыков и умений

В связи с изучением арифметических действий неизбежно встает вопрос о формировании и автоматизации вычислительных навыков. Среди учителей, особенно у тех, кто только начинает работать по занковской системе или лишь поверхностно с ней знаком, часто бытует мнение, что в системе Л.В. Занкова этому вопросу уделяется недостаточное внимание и решение его не достигает нужного уровня.

Поверхностное знакомство с нашими учебниками математики, как правило, вызывает чувство недоумения и тревоги, связанное с отсутствием привычного подхода к формированию вычислительных навыков – большого количества готового материала (так называемых столбиков-примеров), предназначенного для выполнения вычислений ради вычислений. Этот «пробел» учитель старается заполнить все теми же привычными ему столбиками, не осознавая, что встает на путь прямого искажения системы вместо того, чтобы разобраться в тех подходах, которые замещают в ней привычный путь формирования навыков.

Постараемся разобраться в этой проблеме, разъяснить и обосновать подходы к формированию навыков в системе Л.В. Занкова. Прежде всего остановимся на трактовке самого понятия «сформированный вычислительный навык». Надеемся, что у учителей не вызовет отторжения такое определение: сформированный вычислительный навык – это способность ученика быстро и безошибочно выполнять ту или иную математическую операцию. В процессе формирования любого навыка мы выделяем три принципиально разных этапа.

На первом этапе дети ищут пути выполнения той операции, которой им предстоит овладеть, сравнивают их между собой и выбирают наиболее экономный (рациональный). Например, в 1-м классе это использование и сравнение таких способов, как пересчет, присчитывание, движение по натуральному ряду, использование составленной сокращенной таблицы сложения. Завершается этот этап или выбором основного способа выполнения операции (при изучении операции в пределах табличных случаев), или созданием алгоритма выполнения операции (при рассмотрении их за пределами таблиц). Этот этап занимает довольно много времени и, конечно, замедляет процесс формирования навыка, но дает большие возможности для творческой деятельности детей, а значит, и для их развития.

Следующий этап посвящается формированию правильности выполнения операции. В этот период происходит совершенствование использования найденного алгоритма, которое связано не только и не столько с решением готовых выражений, сколько с активным созданием нового материала, соответствующего определенным условиям, или, наоборот, с выявлением условий создания определенного набора выражений. Основой достижения правильности выполнения каждой операции, по нашему представлению, являются:

– свободное и безошибочное применение соответствующего алгоритма;
– умение предвидеть изменение результата операции при изменении ее компонентов;
– умение вносить в компоненты операции изменения, приводящие к заданному результату.

Такая позиция нашла отражение в специфике построения заданий, относящихся к этому этапу, в течение которого главное внимание концентрируется на правильности выполнения действий: сочетание небольшого по объему готового материала, используемого для выполнения действий (репродуктивная деятельность), с самостоятельным созданием детьми других выражений, отвечающих заложенным в задании требованиям (продуктивная деятельность), что завершается проверкой правильности выполнения продуктивной части задания при помощи решения составленных выражений (репродуктивная деятельность), –то есть заданий, характерных для косвенного пути формирования вычислительного навыка.

После того как у большинства детей исчезают ошибки, связанные с незнанием и непониманием пути выполнения операции, можно переходить к заключительному этапу – формированию скорости выполнения операции. На этом этапе основную роль играют задания, относящиеся к прямому пути, в интерпретации, характерной для системы.

Необходимо отметить, что предложенный путь формирования навыков занимает больше времени, чем прямой, но в системе и нет стремления к достижению быстрого результата. Мы стремимся к созданию прочной теоретической и практической основы формирования осознанного навыка у каждого ученика.

Мы считаем, что для формирования любого навыка, в том числе и вычислительного, в любой системе используются два подхода, которые мы в дальнейшем будем условно называть прямым и косвенным. Прямой подход характеризуется наличием готового образца выполнения изучаемой операции и большим количеством готовых тренировочных упражнений, в процессе выполнения которых ученики овладевают навыком на основе репродуктивной деятельности, где владение навыком выступает как самоцель по принципу «решай, чтобы научиться решать».

Главным преимуществом здесь является очень быстрое достижение требуемого результата, поэтому он так широко распространен и занимает прочные позиции в школьной практике. Однако несомненны и отрицательные стороны. Сам подход к формированию вычислительного навыка за счет упражнений, выполняемых именно для того, чтобы научиться их выполнять, мы считаем противоестественным – ведь человек овладевает технической стороной любого дела не как самоцелью, а ради решения актуальных для него задач. За исключением случаев, когда люди получают удовольствие от самого процесса выполнения арифметических действий, вычисления служат инструментом решения существенных проблем математики как учебного предмета или практических задач, возникающих в жизни. Длинная череда однообразных по своей сути тренировочных упражнений искажает суть математики, подменяя ее чередой однотонных и скучных действий, и в конечном счете вызывает отвращение к этой области знаний. Преобладание репродуктивной деятельности в формировании вычислительных навыков значительно сдерживает возможность продвижения детей в развитии, а в настоящее время развитие школьников является приоритетной задачей обучения в любой системе.

Важнейшей особенностью косвенного подхода к формированию навыков являются отсутствие готового образца выполнения операции, которой предстоит овладеть, самостоятельный поиск способов ее выполнения самими учащимися, что сразу включает детей в продуктивную творческую деятельность.

Такой подход характеризуется высокой эффективностью процесса формирования навыка, полноценным осознанием теоретических и практических знаний, лежащих в основе алгоритмов выполнения вычислительных операций, повышением интереса к математике. При этом большая часть заданий позволяет получить обширный тренировочный материал для формирования навыка.

Недостатком является заметное увеличение времени, затрачиваемого на достижение результата.

Почему же система предпочитает именно косвенный подход к формированию навыков? Дело в том, что практически любое задание по любому учебному предмету, в том числе и по математике, должно способствовать продвижению детей в развитии, а прямой подход полностью исключает эту компоненту. Если бы выработка навыков занимала небольшое учебное время, с этим можно было бы смириться, но это отнюдь не так: выполнение арифметических действий в любом классе начальной школы занимает в общей сложности почти его половину.

Приведем несколько примеров заданий, в которых используется косвенный подход к формированию вычислительных навыков.

Задание 87. Учебник для 1-го класса, часть 3

Найди значения сумм по таблице сложения:

5 + 2
4 + 2
3 + 2

Почему значение каждой следующей суммы меньше предыдущего?
Какие еще равенства таблицы сложения подойдут к записанным?
Найди и запиши их.

Выполнение задания требует от детей репродуктивной деятельности. Эта часть задания способствует закреплению таблицы сложения, которая является важнейшим компонентом общего алгоритма выполнения сложения и вычитания натуральных чисел.

Ответ на следующий вопрос задания требует анализа получившихся равенств и выявления заложенной в них закономерности, что способствует продвижению в осознании зависимости, существующей между слагаемыми и значениями сумм, а также создает благоприятную ситуацию для продвижения детей в развитии.

Задание завершается созданием сумм, подчиняющихся подмеченным закономерностям, и определением их значений. В результате количество сумм, с которыми работают ученики, возрастает как минимум до семи (добавляются суммы 7 + 2, 6 + 2, 2 + 2, 1 + 2), но могут появиться и суммы, которые выходят за рамки изученного материала (например, 9 + 2, 8 + 2, 0 + 2, а может быть и 10 + 2, 11 + 2 и т.д.). Такие творческие элементы заданий дети должны первоначально выполнять самостоятельно, результаты же выносятся на всеобщее обсуждение.

Обсуждение полученных решений – важнейший момент работы с заданием, оно требует от учеников скрупулезного и всестороннего анализа заложенных в задание закономерностей. В зависимости от числа найденных закономерностей дети принимают или отвергают предложенные решения:

– если ученик выделил только основные закономерности – уменьшение первого слагаемого каждой следующей суммы на единицу и сохранение неизменности второго слагаемого, он может или принять все предложенные выше варианты, или, наоборот, принять только суммы 2 + 2, 1 + 2 и, может быть, 0 + 2;
– если замечена еще закономерность: оба слагаемых однозначные числа, то будут отвергнуты суммы с первым двузначным слагаемым;
– если, помимо названных выше закономерностей, ученик заметил, что значения исходных сумм – однозначные числа, он отвергнет суммы 9 + 2 и 8 + 2;
– и, наконец, если замечено, что слагаемые – натуральные числа, будет отвергнута сумма 0 + 2.

Таким образом, чем больше подмечено закономерностей, тем меньше сумм подходит к исходным.

Естественно, ни один первоклассник не может самостоятельно рассмотреть все перечисленные варианты рассуждений, но коллективно можно рассмотреть если не все, то несколько таких вариантов. Пока школьники пытаются сами строить рассуждения, учитель не вмешивается в их работу активно, а только поощряет поиски. Если возможности детей иссякли, учитель может предложить свой вариант.

Задание 181¹ . Учебник для 2-го класса

1) Не выполняя сложения, выпиши суммы, в значениях которых число десятков и единиц будет одинаково.
2) Найди значения этих сумм. Ты был прав?
3) Измени в остальных суммах одно слагаемое так, чтобы в значениях сумм тоже стало одинаковое число десятков и единиц (постарайся найти несколько разных решений для каждой суммы).

В п. 1 дети должны творчески использовать знакомый им переместительный закон сложения, в результате чего возникает наиболее очевидный образец изменения одного из слагаемых в оставшихся не- выписанными суммах. При выполнении п. 2 этот образец проверяется, и ученики убеждаются в его верности для данных сумм. При выполнении п. 3 минимальное число сумм, которые получат дети, опирающиеся только на найденный в качестве «образца» вариант, – 4. В действительности же таких сумм 18, так как достичь равенства числа единиц первого и второго разрядов можно не только изменением порядка написания цифр числа (что к тому же не всегда дает такой результат), но и при сложении многих чисел. Для данного задания это будут следующие суммы:

61 + 5,  61 + 16,  61 + 27,  61 + 38,
1 + 32, 12 + 32, 23 + 32, 34 + 32,
45 + 32,  56 + 32, 67 + 32;
45 + 10, 45 + 21, 45 + 32, 45 + 43,
45 + 54, 70 + 18, 81 + 18.

Таким образом, в процессе выполнения задания могут быть найдены 23 суммы.
Отметим, что задание подготавливает почву для того случая, когда дети столкнутся с суммами вида 87 + 78, для которых полученный образец выделения сумм с одинаковым числом единиц первого и второго разрядов непригоден, так как 87 + 78 = 165.

Задание 111. Учебник для 3-го класса

1) Чем похожи разности? Найди их значения.

777 – 456 676 – 253
836 – 513 578 – 446

2) В каждом уменьшаемом измени одну цифру так, чтобы в разряде единиц появился переход через разряд.
3) Выполни задание пункта 2 так, чтобы переход через разряд появился в разряде десятков.
4) Как нужно изменить уменьшаемые, чтобы переход через разряд был и в десятках, и в единицах?
5) Как еще можно преобразовать данные разности, чтобы возникли переходы через разряд?
Выбери одну из данных разностей и выполни такие преобразования.

Пункт 1 задания позволяет выявить степень овладения прикидкой с точки зрения признаков отсутствия перехода через разряд при выполнении вычитания. Если ученик владеет этим умением, он легко заметит, что при вычислении данных разностей переход через разряд отсутствует. Если же это умение не сформировано, дети обнаружат отсутствие перехода через разряд при выполнении вычитания.

Выполнение п. 2–4 посвящено изменению уменьшаемых, при котором появляются переходы в заданном разряде или разрядах. Необходимо отметить, что учитель легко может увеличивать или уменьшать число разностей, которые должны составить дети. Для этого достаточно указать конкретное число преобразований, которые нужно выполнить с каждой разностью. Это может быть одно, два, больше двух или все возможные преобразования.

Так, при выполнении п. 2 можно получить следующие разности:

770 – 456, 771 – 456, 772 – 456,
773 – 456, 774 – 456, 775 – 456,
670 – 253, 771 – 253, 772 – 253,
830 – 513, 831 – 513, 832 – 513,
570 – 446, 571 – 446, 572 – 446,
573 – 446, 574 – 446, 575 – 446.

Всего получилось 18 разностей.

Пункт 3 позволяет получить следующие разности:

707 – 456, 717 – 456, 727 – 456,
737 – 456, 747 – 456;
606 – 253, 616 – 253, 626 – 253,
636 – 253, 646 – 253;
806 – 513;
508 – 446, 518 – 446, 523 – 446, 533 – 446.
(Всего 15 разностей.)

Общее число разностей, которые могут получаться при выполнении п. 4, равно 270, но, естественно, добиваться перебора всех этих вариантов или даже очень большого их количества незачем. Гораздо важнее попытаться найти систему создания таких разностей, которая позволит в случае необходимости сделать полный перебор вариантов решения. Система основана на комбинации изменений, использованных при выполнении п. 2 и 3. Так, для первой разности можно получить такие изменения:

700 – 456, 701 – 456, 702 – 456, 703 – 456,
704 – 456, 705 – 456, 710 – 456, 711 – 456,
712 – 456, 713 – 456, 714 – 456, 715 – 456,
720 – 456, 721 – 456, 722 – 456, 723 – 456,
724 – 456, 725 – 456, 730 – 456, 731 – 456,
732 – 456, 733 – 456, 734 – 456, 735 – 456,
740 – 456, 741 – 456, 742 – 456, 743 – 456,
744 – 456, 745 – 456.

Последний пункт задания направлен на своего рода разрушение шаблона, который может возникнуть при выполнении предыдущих пунктов задания, – получение требуемых условий при помощи изменения уменьшаемых. Для выполнения этого пункта дети должны догадаться, что тот же результат можно получить, изменяя вычитаемое, после чего получить нужные разности для любой выбранной из данных. Если учитель посчитает необходимым, он может расширить поле деятельности учеников, предложив им выбрать две или более разности, или уменьшить объем работы до минимума, предложив выполнить задание с разностью, дающей наименьшее число решений. Возможностей у него достаточно много, учитывая, что к первой разности можно составить 8, ко второй – 11, к третьей – 36, а к четвертой – 5 новых равенств.

Очевидно, может возникнуть закономерный вопрос: как использовать такие объемные задания, если их выполнение занимает зачастую все время урока и даже больше, а особенности урока в системе включают требование работы с несколькими разными темами?

В связи с этим уместно остановиться на важной особенности использования заданий учебников математики. Ни в коем случае от учителя не требуется предлагать ученикам выполнить все задание подряд на одном уроке. Так, рассмотренное задание 111 можно использовать следующим образом: пункты 1 и 2 дети выполняют на уроке, пункт 3 задается на дом, пункт 4 выполняется на следующем уроке, а пункт 5 – на третьем по счету уроке. Уроки могут идти подряд, а могут перемежаться такими уроками, в которых не рассматривается вообще разбираемое задание. Естественно, могут использоваться и другие варианты. При этом необходимо внимательно следить за мерой трудности и исключать те пункты, которые оказались непосильны всему классу. Однако если хотя бы один ученик преодолел трудность, его объяснение обязательно нужно использовать в работе с классом.

Мы считаем, что неоднократное возвращение к одному и тому же заданию для выполнения очередного пункта помогает многим ученикам глубже осознать стоящую перед ними проблему: ведь прежде чем продвигаться дальше, им необходимо восстановить предыдущие рассуждения.

Рассмотрим несколько последовательных фрагментов уроков, посвященных выполнению задания 236 во 2-м классе.

Задание 236². Учебник для 2-го класса

1) Найди значения сумм. Чем похожи эти суммы?

35 + 24 54 + 32
36 + 23 43 + 44

2) В каждой сумме измени одну цифру так, чтобы при сложении единиц получалось двузначное число (постарайся найти не одно решение).
3) Найди значения новых сумм. Они составлены верно? Если есть ошибки, исправь их.

Фрагмент 1

Учитель. Посмотрите на доску. Что я написала?

На доске записаны суммы из п. 1 задания.

Дети. Там написаны суммы.

У. Это знакомые суммы?

Д. Конечно, знакомые – они из домашнего задания!
– Ой, а я думаю-думаю, почему они знакомые!

У. Сегодня свои значения сумм запишет Юра.

Ученик выходит к доске и записывает числа 59, 86, 59, 87. Остальные дети проверяют свои ответы. У нескольких учеников ответы другие.

– Во второй сумме у Юры и Лизы разные ответы. Какой же из них верный? Лиза, расскажи, как у тебя получилось 87.

Лиза. Я сложила 2 десятка и 6 десятков, и получилось 8 десятков. Потом сложила 4 единицы и 2 единицы, и получилось 7 единиц. Всего 87.

Д. Это неправильно! 4 и 2 не 7, а 6.

У. Лиза, как проверить, сколько же единиц получится?

Лиза считает на пальцах: на одной руке загибает один палец, на другой – загибает 3 пальца и пересчитывает незагнутые пальцы. Говорит: «Я ошиблась – получается 6, а не 7».

– Как ты думаешь, почему ты ошиблась?

Лиза. Я никак не могу запомнить таблицу сложения, вот и ошибаюсь.

У. Наверно, тебе еще нужно проверять себя по справочнику-таблице. И таблицу быстрее запомнишь, и ошибки будешь замечать. А теперь все подумайте, чем похожи эти суммы?

Д. В них все слагаемые – двузначные числа.
– И значения сумм – тоже двузначные числа.
– А еще когда складываешь десятки или единицы, получаются однозначные числа.

У. Молодцы, что заметили, чем все суммы похожи. Сегодня для нашего урока важно последнее сходство. Откройте учебник и найдите задание 236. Прочитайте пункт 2 этого задания.

Дети читают сначала про себя, а затем хором.

– Вам понятно задание? Вы хотите попробовать выполнить его самостоятельно, без разбора?

В классе многие считают, что можно попытаться начать сразу выполнять задание, но есть и большая группа детей, которые хотят предварительно разобрать задание.

– Я вижу, что мнения разделились. Предлагаю такой вариант: те, кто считает, что они могут сразу начать выполнять задание, попробуют помочь разобрать задание другой группе. Вы согласны?

Ученики соглашаются, но некоторые спрашивают, будет ли учитель помогать ученикам в разборе.

– Если будет нужно, я, конечно, помогу. Кто хочет начать разбор задания? Кирюша, начинай!

Кирилл. Я думаю так: в каждой сумме есть 4 цифры, значит, можно менять каждую цифру.

Юля. Это не правильно – ведь двузначное число должно получиться в разряде единиц, значит, и менять цифры нужно в этом разряде, а в разряде десятков менять цифры нельзя.

У. Кто же прав?

Все дети согласны с Юлей.

– Продолжай, Кирюша.

Кирилл. Значит, можно менять цифру в разряде единиц каждого слагаемого. Я бы делал это подбором. Например, в первой сумме вместо цифры 5 можно поставить по порядку остальные 9 цифр и посмотреть, когда будет получаться двузначное число в разряде единиц. Это и будут нужные решения.

Митя. Мне кажется, так можно выполнить задание, но это очень долго и нерационально. Я бы рассуждал так: при сложении 5 и 4 получается однозначное число, а двузначные числа всегда больше однозначных. Значит, число единиц нужно увеличивать или в первом, или во втором слагаемом. Получится гораздо меньше цифр, которые нужно проверить. Для первого слагаемого первой суммы – это 6, 7, 8, 9 – всего четыре цифры, а не 9, как у Киры.

Вера. Я не понимаю, зачем использовать подбор, – ведь можно просто использовать таблицу сложения, мы же ее знаем!

У. Теперь все понимают, как выполнять задание? Справились ваши друзья с разбором?

Дети дружно отвечают утвердительно.

– Тогда выполняйте задание.

Ученики начинают работать, несколько человек подзывают учителя и задают ему дополнительные вопросы.

– Дома выполните пункт 3 задания 236. Прочитайте этот пункт. Вам понятно, что нужно делать?

Один из учеников спрашивает, какие это «новые суммы». Учитель не успевает ответить, так как другие ученики объясняют, что это те суммы, которые он сам записал.

Фрагмент 2 (на следующий день)

Учитель. У вас возникали трудности при выполнении домашнего задания?

Дети дают отрицательный ответ.

– Сейчас мы продолжим работу с суммами, которые вы составили вчера. Сначала проведем эстафету. Посмотрите на доску. Что на ней изображено?

Доска разделена на 4 равные части вертикальными линиями. Вверху каждой части написана одна из исходных сумм.

– Соревноваться будут 4 команды. Я буду называть фамилии членов каждой команды, а вы стройтесь в том порядке, в каком я вас назову.

Педагог зачитывает фамилии учеников каждой команды, начиная с самых слабых и кончая наиболее подготовленными. Поскольку такой вид работы, очевидно, часто используется учителем, построение команд проходит очень быстро.

– Каждая команда работает с одной суммой. На доске под данной суммой нужно записать все суммы, которые ваша команда составила, используя каждую сумму один раз. Значения сумм записывать не надо.

Учитель раздает каждой команде мелок определенного цвета.

– Итак, начинаем. Внимание! На старт! Начали!

Первые ученики каждой команды бегут к доске со своими тетрадками и записывают составленные ими суммы, возвращаются к своим командам и передают мел следующему ученику, а сами становятся в конце. Если у ученика нет новых сумм, он передает мел следующему, а сам переходит в конец. В результате на каждой части доски набирается некоторое количество сумм, а команды выстроены в исходном порядке.

К первой сумме команда записала такие суммы:

36 + 24, 35 + 25, 39 + 24, 37 + 24, 35 + 27, 35 + 28, 35 + 29.

К остальным суммам тоже составлены разные суммы.

– Теперь каждая команда посмотрит, может быть она поможет каким-нибудь другим командам. Если у вас есть не записанные на доске суммы, допишите их мелом цвета вашей команды.

Дети сверяют записанные у них суммы с суммами на доске. Несколько человек выходят и дописывают свои суммы. К первой сумме добавляется:

35 + 26.

– Итог эстафеты подведем завтра. Учитывать будем скорость выполнения работы, число верных сумм, число допущенных ошибок и помощь другим командам.
А сейчас каждый перепишет с доски те суммы, которых у него нет, и дома найдет их значения.

Дети переписывают с доски суммы.

Фрагмент 3 (на третий день)

На доске учителем восстановлена запись предыдущего урока к каждой исходной сумме.

Учитель. Проверим домашнюю работу. Все ли суммы были составлены верно?

Дети. Нет!
– Есть неправильные суммы!
– Они потому неправильные, что в разряде единиц получается однозначное число.

У. Сережа, вычеркни на доске неверные суммы.

Сережа выходит и вычеркивает суммы

56 + 32, 57 + 32, 36 + 22, 45 + 44.

– Теперь змейкой запишите на доске значения оставшихся сумм. Голова у змейки – первая парта третьего ряда.

Начиная с указанной парты, ученики по одному выходят к доске и записывают по одному значению сумм. Действуют очень быстро, форма работы детям хорошо знакома.

– Теперь я предлагаю вам сделать следующее: перепишите равенства первой группы, в которых изменяли первое слагаемое, в порядке увеличения их значений, а в которых изменяли второе слагаемое – в порядке уменьшения значений.

Дети работают самостоятельно.

– Маша и Витя, выйдите к доске и запишите, что у вас получилось.

Маша. 36 + 24 = 60, 37 + 24 = 61, 39 + 24 = 63.

Витя. 35 + 29 = 64, 35 + 28 = 63, 35 + 27 = 62, 35 + 25 = 60.

У. А теперь сравните значения сумм каждого ряда и подумайте: можно ли сделать так, чтобы разница между ними была везде одинаковая?

Д. Конечно, можно – нужно в первом ряду зачеркнуть последнее равенство, а во втором зачеркнуть второе равенство.
– Правильно, тогда в первом ряду разница равна 1, а во втором – 2.
– А я бы добавила в каждый ряд еще по равенству: в первый ряд – 38 + 24 = 62, а во второй – 35 + 26 = 61.
– И тогда везде разница будет 1. А еще, мне кажется, получились все подходящие суммы. А ведь всегда нужно стараться найти все решения!

У. Молодцы, вы самые настоящие математики! Дома я предлагаю вам найти недостающие суммы в остальных группах и найти их значения. Подумайте, мы сделали все, что хотели?

Дети отрицательно мотают головами.

Д. Нет! Нет, не все! Не все! А подвести итоги эстафеты?!

У. Да, дети, я совсем об этом забыла! Но главными судьями сегодня будете вы. Итак, какая команда быстрее всех завершила эстафету?

Д. Четвертая!

У. Какая команда записала больше верных сумм?

Д. Первая!

У. Какая команда больше помогла остальным?

Д. Первая!

У. Какая команда допустила меньше всего ошибок?

Д. Вторая!

У. Так какая команда победила?

Д. Первая – они два раза на первом месте, а остальные по одному или совсем не занимали первое место.

У. Я с вами согласна: хотя вы все работали очень хорошо, но первая команда чуть-чуть всех обогнала.

Вполне очевидно, что в результате приведенных трех фрагментов урока ученики получают возможность составить коллективно полный набор сумм, отвечающих условию п. 2 задания, и найти их значения, а также вычислить значения исходных и некоторого количества неверно составленных сумм. Таким образом, каждый ученик вычисляет около сорока значений. (31 возможная сумма, 4 исходные и различное для разных учеников неверных сумм.) Такое количество вычислений на уроке или дома вполне достаточно для продвижения в формировании вычислительных навыков. При этом возникновение вычислений и сам процесс постоянно сопровождаются анализом, рассуждениями на основе результатов анализа, обобщением полученного материала и другими аспектами, способствующими продвижению детей в развитии.

Остановимся теперь на важных аспектах прямого подхода к формированию вычислительных навыков, которые используются в системе. Несмотря на важную роль, которую играют задания, требующие выполнения вычислений готовых выражений, в системе практически отсутствуют задания, требующие выполнения операции просто ради того, чтобы научиться ее выполнять. Все задания построены по принципу – получи нужный результат, а для этого выполни вычисления. При этом искомый результат должен быть интересен и приятен ученикам. К таким заданиям относятся прежде всего:

– раскрашивание загадочных рисунков. Эти задания представляют первоначально хаотическое переплетение линий, делящих поле рисунка на замкнутые участки причудливой конфигурации, на которых помещены различные выражения. Каждому значению выражения соответствует определенный цвет. После раскрашивания проявляется сюжет рисунка. Примером такого задания может служить задание 115 (учебник для 1-го класса, часть 3);

– завершение неоконченного рисунка, соединение точек в порядке возрастания или убывания значений выражений, соответствующих данным точкам (см. задание 40, учебник для 1-го класса, часть 4);

– определение дороги через лабиринт, на дорожках которого расположены различные выражения, из которых нужно выбрать те, которые соответствуют условиям задания (см. задание 124, учебник для 1-го класса, часть 4).

Такие и многие другие задания появляются в 1-м классе в учебнике-тетради, а в последующих классах начальной школы – в рабочих тетрадях на печатной основе.

Помимо этих, учитель может использовать и другие задания, записанные на доске и включающие обширный материал для вычислений. Приведем пример.

Учитель. Посмотрите, что я написала на доске. Что вы можете сказать про эти записи?

На доске:

Дети. Здесь суммы и разности.
– Числа с плюсами и минусами.
– Ой, как много всего!
– Здесь разные выражения.
– Как их много!

У. Вы что же так огорчились? Подумали, что их все нужно посчитать?

Д. Да!
– Конечно!

У. Ну что вы, разве я даю вам такие задания? Здесь нужно сделать совсем другое! Вам нужно найти и выписать только те выражения, которые равны шести или семи.

Дети радуются, улыбаются и начинают выполнять работу. После довольно длительной паузы раздается робкий голос ученика.

Д. А здесь нет таких, чтобы получалось 6 или 7!

У. Как – нет?

Оборачивается к доске, смотрит на то, что записано.

– Ой, ребята, извините меня, я ошиблась и совсем не то написала! Но вы ведь знаете, когда при сложении и вычитании получается 6 или 7?

Д. Да!

– Конечно, знаем!

У. Ну, вот и напишите такие выражения и их значения.

Дети начинают работу с большим желанием.

Легко заметить, что дети выполняют большой объем вычислений, но в их представлении они занимались совсем другим: сначала пытались найти выражения с заданными значениями, а затем показывали свои знания в таблице сложения.

Необходимо отметить, что после выполнения задания выявились два ученика, которые при выполнении первой части задания не вычисляли значения всех выражений подряд, а сумели рационализировать поиск нужных выражений, выделив такие, значения которых заведомо не могут быть 6 или 7, например, такие выражения, как 7 + 2, 5 – 3, 6 – 3, 5 – 0 и др.

Еще одной особенностью формирования вычислительных навыков является сведение к минимуму нагрузки на механическую память при запоминании таблиц сложения и умножения. Мы стремимся к их запоминанию на основе активной и разноплановой деятельности со справочниками-таблицами, когда включаются разные виды памяти – зрительная, слуховая, двигательная, логическая. Именно об этом необходимо заботиться учителю, а не о том, чтобы дети «вызубрили» таблицу за определенный ограниченный срок.

Необходимо иметь в виду, что процесс запоминания таблиц сугубо индивидуален в смысле как очередности запоминания входящих в нее равенств, так и скорости этого процесса. Поэтому работа должна, в первую очередь, учитывать именно эти особенности детей: каждый работает на том уровне, который для него в данный момент является оптимальным. Не может возникать такого положения, когда, например, волевым распоряжением учителя все дети одновременно лишаются возможности использовать в работе таблицу-справочник. Время отказа от его использования определяет сам ученик. Задача учителя – создать для такого отказа благоприятные условия, поощряя такое желание, подбадривая тех, кто не уверен в своих силах, и т.д.

В связи с формированием вычислительных навыков необходимо остановиться на вопросе об особом виде работы на уроках математики – устном счете. Чтобы ясно представлять себе ту роль, которая отводится устному счету в занковской системе, рассмотрим, какие функции он может выполнять в учебном процессе. С нашей точки зрения, главные из них таковы:

– формирование умения работать в коллективе в заданном достаточно быстром темпе;

– развитие такого свойства мыслительной деятельности, как гибкость ума, быстрота переключения с одной проблемы (задачи, аспекта) на другую;

– совершенствование (автоматизация) вычислительных навыков в пределах простых (в основном табличных) случаев выполнения арифметических действий.

Уже простое перечисление показывает, что занковская система отнюдь не отвергает этот вид учебной деятельности, но предъявляет к ней особые требования. Естественно, что в системе, направленной на общее развитие школьников, приоритетными становятся первые две из этих функций, из чего следует, что используемые в устном счете задания должны носить специфический характер. Вместо использования целой серии заданий, в которых дети должны найти значения предложенных выражений, предлагается, например, одно выражение, которое служит «трамплином» для построения целой серии связанных с ним заданий. Вот пример такого построения устного счета:

Чему равна сумма 8 + 7? (15)
Назовите выражения, которые имеют такое же значение.
10 + 5, 7 + 8, 15 + 0, 9 + 6, 6 + 9, 20 – 5, 5 ґ 3, 63 : 7 + 6

И т.д. в зависимости от того, какой материал изучен детьми к моменту работы с заданием.

Что нужно сделать со слагаемыми в сумме 8 + 7, чтобы значение суммы увеличилось на 6?

При выполнении задания важно добиваться использования различных подходов к решению поставленной задачи: увеличить на 6 одно слагаемое – (8 + 6) + 7, 8 + (7 + 6); увеличить оба слагаемых – (8 + 5) + (7 + 1), (8 + 4) + (7 + 2) и т.д.; одно слагаемое увеличить больше, чем на 6, другое уменьшить – (8 + 8) + (7–2) и т.д.

Такое построение устного счета является в системе предпочтительным, позволяя осуществлять и развивающие детей функции, и формирующие их вычислительные навыки за счет многочисленных вычислений, которыми проверяются предложенные варианты. Это не исключает возможности использования на определенных этапах формирования вычислительных навыков и обычной формы проведения устного счета, где основное внимание направлено на совершенствование вычислительных навыков.

Однако проведение стандартного устного счета совершенно недопустимо, пока идет осознание теоретических основ выполнения вычислительных операций.

Все это требует от учителя постоянной ориентации на индивидуальные особенности каждого школьника и класса в целом, а также на тот действительный этап, на котором находится овладение каждым изучаемым действием.

Вот поэтому в учебнике отсутствуют специальные задания для устного счета, хотя многие задания содержат материал, который можно для него использовать. Главным же источником материала для проведения устного счета является творчество учителя – ведь никто лучше него не знает, какого рода задания нужны ученикам его конкретного класса в каждый момент обучения.

В заключение остановимся на двух немаловажных моментах, связанных с устным счетом: в системе Л.В. Занкова отсутствуют требования обязательного ежеурочного включения устного счета и его жесткого закрепления на определенном временном этапе урока. Устный счет проводится так часто и тогда, как и когда это считает нужным учитель.

Задания для самопроверки:

1. Какие способы формирования умений и навыков вы используете в своей работе?

2. Какой из способов формирования умений и навыков является ведущим в системе Л.В. Занкова и почему?

3. Через какие этапы проходит процесс формирования умений и навыков?

4. Какие основные задачи должны решаться при проведении в системе устного счета?

Рекомендуемая литература:

1. Аргинская И.И. и др. Математика. 1 класс: Учебник-тетрадь.

2. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебники. 2–4 классы.

3. Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика: Рабочие тетради на печатной основе. 2–4 классы.

4. Аргинская И.И. Математика: Методические пособия к учебникам математики. 1–4 классы.

5. Журнал «Практика образования». 2005. №3.

¹ В издании 2001 года номер задания – 181.

² В издании 2001 года задания – 234.